ЕГЭ: оптимальная коробка
Из прямоугольного листа картона 30 см × 20 см вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной x см и загибают края, получая открытую коробку.
- Запишите объём V(x).
- Укажите допустимые значения x.
- Найдите x, при котором объём максимален.
Подсказка
V(x)=x(30−2x)(20−2x). Найдите производную и исследуйте критические точки на интервале 0<x<10.
Показать решение
V=4x³−100x²+600x. V′=12x²−200x+600=4(3x²−50x+150). Корни: x=(50±√700)/6=(25±5√7)/3. В интервал (0;10) попадает x=(25−5√7)/3≈3,92. На концах объём стремится к нулю, поэтому эта критическая точка даёт максимум.
Показать ответ
x=(25−5√7)/3≈3,92 см.